Τρίτη, 25 Φεβρουαρίου 2014

Το τρίγωνο Sierpinski


Το τρίγωνο του Sierpinski αποτελεί κλασικό παράδειγμα "Μορφοκλασματικής" Γεωμετρίας (Fractal Geometry). Αυτό το κλασικό φράκταλ επινοήθηκε στις αρχές του περασμένου αιώνα (1916) από το μεγάλο Πολωνό μαθηματικό Waclaw Sierpinski (1882-1969). 

Για  την κατασκευή του τριγώνου του Sierpinski ακολουθούμε τα εξής βήματα.Αρχικά παίρνουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο (επίπεδο 0) ,ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του και αφαιρούμε το μεσαίο τρίγωνο που σχηματίζεται,έτσι προκύπτει το σχήμα στο (επίπεδο 1) το οποίο αποτελεί  το βασικό μοτίβο. Στη συνέχεια σε κάθε ένα από τα τρία τρίγωνα που σχηματίζονται κάνουμε το ίδιο και παίρνουμε το  επόμενο σχήμα  (επίπεδο 2). Σε κάθε τρίγωνο τώρα του επιπέδου 2 κάνουμε το ίδιο κ.ο.κ










Στην παρακάτω εικόνα φαίνεται καλύτερα η διαδικασία κατασκευής του τριγώνου Sierpinski.




Με  το τρίγωνο του Sierpinski συμβαίνει κάτι το εκπληκτικό .Παίρνουμε στο εσωτερικό ενός  ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ ένα σημείο Ρ0, ρίχνουμε ένα ζάρι και αν το αποτέλεσμα είναι 1 ή 2 ενώνουμε το σημείο με την κορυφή Α 
αν είναι 3 ή 4 με την Β 
ενώ αν είναι 5 ή 6 με την Γ 
στη συνέχεια βρίσκουμε το μέσο του τμήματος Α Ρ0
Θεωρούμε τώρα ως αρχικό σημείο το Ρ , ρίχνουμε ξανά το ζάρι και ας υποθέσουμε ότι έρχεται 3,ενώνουμε λοιπόν το Ρ1 με το Β και βρίσκουμε το μέσο του ΒΡ1,συνεχίζουμε  τη διαδικασία άπειρες φορές .Τι σχήμα θα σχηματίσουν το σημεία  Ρ0, Ρ1 ,Ρ2 , Ρ3 ,.......;







Το τρίγωνο Sierpinski (όπως και όλα τα γνήσια fractals) έχει επίσης την ενδιαφέρουσα ιδιότητα πως παρόλο που ο χώρος που καταλαμβάνει είναι περιορισμένος, το συνολικό μήκος των πλευρών των τριγώνων του είναι άπειρο. 







 http://en.wikipedia.org/wiki/Sierpinski_triangle,
http://mathimatika-paixnidia.blogspot.gr/2010/07/sierpinski.html,