Κυριακή, 19 Οκτωβρίου 2014

Τετάρτη, 15 Οκτωβρίου 2014

Σχεδιασμός και υλοποίηση προγραμμάτων σχολικών δραστηριοτήτων 2014-15






Ο Galton και τα τρία νομίσματα ή πώς να ξεχάσεις τις πιθανότητες ...




Ο Francis Galton δεύτερος ξάδερφος του Δαρβίνου, πατέρας της Ευγονικής με πολλές αμφιλεγόμενες ιδέες και θεωρίες διατύπωσε το παρακάτω στατιστικό παράδοξο:

Ρίχνουμε τρία αμερόληπτα νομίσματα.
Αναπόφευκτα τα δύο από αυτά θα έχουν την ίδια όψη
Το τρίτο νόμισμα είτε θα έχει την ίδια όψη είτε όχι. Άρα η πιθανότητα να έχουν και τα τρία την ίδια όψη είναι 1/2 !!!





http://commons.wikimedia.org/wiki/File:2005-Penny-Uncirculated-Obverse-cropped.png
"Suppose you flip three fair coins.
Necessarily two will match, and it’s an even chance whether the third will be head or tail.
Therefore the chance that all three will match is 1/2."

Την απάντηση την δίνει ο ίδιος στο παρακάτω κείμενο: 
Το παράδοξο βασίζεται στο γεγονός ότι θεωρούμε το τρίτο νόμισμα σαν ΕΝΑ νόμισμα που απλά έχει ίδια ή όχι όψη με τα άλλα δύο και όχι σαν ΜΕΡΟΣ του πειράματος που αφορά ΤΡΙΑ νομίσματα. Για να υπολογίσουμε την σωστή πιθανότητα θα πρέπει να βρούμε το πλήθος Ν(Ω) όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος και μετά να βρούμε το πλήθος Ν(Α)  των ευνοϊκών αποτελεσμάτων. 
Η πιθανότητα δίνεται σαν το κλάσμα Ν(Α)/Ν(Ω). ... Δηλαδή;








Σάββατο, 11 Οκτωβρίου 2014

Βρετανία: Μία ώρα αργότερα θα αρχίζουν τα μαθήματα στα σχολεία




Βρετανία: Μία ώρα αργότερα θα αρχίζουν τα μαθήματα στα σχολεία

Πιλοτικό πρόγραμμα από το πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

Σε 106 βρετανικά σχολεία πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης ο… επάρατος χτύπος του σχολικού κουδουνιού δεν θα χτυπάει πλέον στις 9, αλλά στις 10 το πρωί, σε ένα πιλοτικό πρόγραμμα που ξεκινάει το πανεπιστήμιο της Οξφόρδης με το Ταμείο Wellcome Trust και το βρετανικό Ίδρυμα Επιχορηγήσεων Εκπαίδευσης (ΕΕF).

Το πείραμα, που πραγματοποιείται υπό την επίβλεψη ειδικών επιστημόνων, με επικεφαλής τον καθηγητή Νευρολογίας του Πανεπιστημίου της Οξφόρδης Ράσελ Φόστερ, βασίζεται πάνω σε μια έρευνα, σύμφωνα με τα αποτελέσματα της οποίας μία ώρα παραπάνω ύπνου το πρωί επιφέρει μεγαλύτερο βαθμό προσοχής στη σχολική αίθουσα, αλλά και καλύτερα αποτελέσματα κατά τις  εξετάσεις.

Ο Φόστερ ανακάλυψε ότι οι έφηβοι έχουν βιολογική προδιάθεση να πηγαίνουν για ύπνο αργά το βράδυ και να ξυπνούν αργά το πρωί, και έτσι αργούν να τεθούν σε πνευματική εγρήγορση νωρίτερα από τις 10π.μ. «Οι καθηγητές θα πουν ότι τα παιδιά είναι στην καλύτερη στιγμή τους νωρίς το πρωί, όμως αυτό που πραγματικά συμβαίνει είναι ότι οι καθηγητές νιώθουν ιδιαίτερα ενεργοί στις 9 το πρωί, ενώ οι μαθητές ακόμα μισοκοιμούνται, με αποτέλεσμα το μάθημα να διεξάγεται πιο ελεγχόμενα, και άρα ευκολότερα, μόνο εκ μέρους των καθηγητών», επισημαίνει με νόημα ο Φόστερ, δικαιώνοντας άθελά του τους αργοπορημένους και τους υπναράδες.

Έτσι, με βάση το νέο πείραμα, περίπου 31.800 μαθητές ηλικίας 10 κι 11 ετών σε συνολικά 106 τυχαία επιλεγμένα δημοτικά σχολεία και γυμνάσια της Βρετανίας θα ξυπνάνε μια ώρα αργότερα από τους συνομηλίκους τους.

«Το συγκεκριμένο πείραμα έχει ως στόχο να αξιοποιήσει κάποια επιστημονικά ευρήματα προκειμένου να βελτιώσει το επίπεδο της σχολικής εκπαίδευσης», τονίζει στους βρετανικούς Times ο Κέβαν Κόλινς, πρόεδρος της ΕΕF.

Χαράς ευαγγέλια λοιπόν για τους απανταχού… Χουζούρηδες, οι οποίοι κερδίζουν μια ώρα παραπάνω ξεκούρασης. Το πρόβλημα, ωστόσο, εδράζεται αλλού: το νέο ωράριο ίσως διαταράξει τις ενδο-οικογενειακές ισορροπίες ανάμεσα σε γονείς και παιδί, καθώς η δεκάτη πρωινή είναι μια ώρα που οι γονείς έχουν ήδη φύγει για τις δουλειές τους, με το παιδί να αναγκάζεται να μεταβεί μόνο του στο σχολείο, χρησιμοποιώντας τα μέσα μαζικής μεταφοράς –αν δεν υπάρχει σχολικό λεωφορείο να το μεταφέρει.

Τα συγκεκριμένα 106 σχολεία θα είναι το επίκεντρο ενός ευρύτερου τετραετούς προγράμματος αξίας 6 εκατομμυρίων ευρώ, που θα μελετήσει ακόμη 35.000 μαθητές σε άλλα 279 σχολεία της πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης σε όλη της Βρετανία. Σε αυτά τα σχολεία, το ωράριο θα παραμείνει μεν το ίδιο –δηλαδή τα μαθήματα θα ξεκινούν στις 9 το πρωί- όμως οι μαθητές θα μελετηθούν με βάση άλλες τους συνήθειες, όπως λόγου χάρη το κατά πόσο η έντονη σωματική άσκηση μπορεί να βελτιώσει τη μνήμη ή την συγκέντρωση τους στην αίθουσα.

Το σύστημα έναρξης μαθημάτων στις 10 π.μ. αντί για τις 9 π.μ. είχε εφαρμοστεί αρχικά πριν τρία χρόνια στους 800 μαθητές του λυκείου Μονκσίτον, στο Τάινσαϊντ της Βρετανίας. «Η καθυστέρηση άφιξης στο σχολείο μειώθηκε κατά 8%, ενώ η συστηματική απουσία από τα μαθήματα μειώθηκε κατά 26%, χάρη στην αλλαγή της ώρας έναρξης της σχολικής ημέρας. Επιπλέον, στις εξετάσεις GCSE [κάτι σαν τις δικές μας πανελλαδικές εξετάσεις], οι μαθητές στα Μαθηματικά και τα Αγγλικά εμφανίστηκαν σαφώς βελτιωμένοι, συγκριτικά με τα αποτελέσματα της περσινής χρονιάς», είχε τονίσει τότε ο επικεφαλής του πειράματος, λυκειάρχης Πολ Κέλι.

Αναδημοσίευση από: http://www.tovima.gr


Το Λάθος


 
Σε ένα υπεραστικό λεωφορείο, όπου γίνεται επιβίβαση μόνο στην αφετηρία, επιβιβάστηκαν 50 επιβάτες. Κατά τη διαδρομή αποβιβάστηκαν όλοι οι επιβάτες. Βλέπε κατωτέρω πίνακα:


Πως προέκυψε ένας επιβάτης παραπάνω; Που είναι το λάθος;

Αναδημοσίευση από: http://eisatopon.blogspot.gr

Τετάρτη, 8 Οκτωβρίου 2014

Η διαίρεση με το μηδέν και μια απόδειξη ότι ο περιπτεράς της γειτονιάς σας είναι καρότο!



    


  «Τι είναι το μηδέν, Μπαμπά ;»

  «Ο αριθμός των φτερωτών ελεφάντων που στέκονται δίπλα σου.»

  « Οι ροζ ή οι άσπροι;»

   
   Το μηδέν δεν πειθαρχεί σε όλους τους κανόνες των αριθμών.O Ινδός μαθηματικός  Βραχμαγκούπτα παρότι ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε μαζί του ενδελεχώς , ομολογουμένως δεν κατάφερε να χειριστεί την διαίρεση.Την διαίρεσή ενός αριθμού με το μηδέν.Ο μεταγενέστερος του, επίσης Ινδός μαθηματικός Μπασκάρα γνώριζε ότι όσο μικρότερος είναι ο διαιρέτης σε μια διαίρεση τόσο  μεγαλύτερο είναι το πηλίκο που προκύπτει,κατά συνέπεια  όταν διαιρούμε το 5 με το μηδέν ουσιαστικά το χωρίζουμε σε άπειρα κομμάτια οπότε το αποτέλεσμα 5/0 είναι το άπειρο. Η απάντηση του όμως είναι λανθασμένη .Πως θα μπορούσαμε να συγκεντρώσουμε  μια άπειρη ποσότητα από τίποτα και να πάρουμε το 5;Τι συμβαίνει, πολύ απλά η διαίρεση δεν εκτελείται , δεν υπάρχει αποτέλεσμα .Δεν υπάρχει αριθμός που να πολλαπλασιάσουμε με το 0 και το αποτέλεσμα να  είναι 5.Αυτή καθαυτή η αδυναμία της διαίρεσης με το μηδέν  οδηγεί σε πολλά παράδοξα . Ο Charles Seifeστο βιβλίο του Μηδέν. Η βιογραφία μιας επικίνδυνης έννοιας γράφει χαρακτηριστικά:

«Η διαίρεση με το μηδέν ... σας δίνει τη δυνατότητα να αποδείξετεμαθηματικά οτιδήποτε  στο σύμπαν.Μπορείτε να αποδείξετε ότι 1 +1 = 42και από εκεί μπορείτε να αποδείξετε ότι ο J. Edgar Hoover είναι ένας εξωγήινοςότι ο William Shakespeare ήρθε από το Ουζμπεκιστάνή ακόμα και ότι ο ουρανός είναι πουά.»                                                                          

Για του λόγου το αληθές Θα δείξουμε ότι ο περιπτεράς της γειτονιάς σας είναι..καρότο.

Υποθέτουμε ότι α=1 και β=1, για τις τιμές αυτές ισχύει η ισότητα : β2=αβ   (1)
Εφόσον το α ισούται με τον εαυτό του:  α2(2)
Αφαιρούμε κατά μέλη τις (1) ,(2) και παραγοντοποιούμε τα δυο μέλη:
(2)-(1): α2 -β22 –αβ ή (α –β)(α+β)= α(α–β)  (3)
Διαιρούμε και τα δυο μέλη με τον παράγοντα α-β και προκύπτει:
                                
                       
Αρχικά όμως υποθέσαμε ότι β=1 οπότε προκύπτει 0=1  (4)


Γνωρίζουμε ότι ο περιπτεράς είχε ένα κεφάλι αλλά από την ισότητα (4)  ένα ίσον κανένα οπότε δεν έχει κεφάλι .Ο περιπτεράς δεν έχει κανένα μίσχο με φύλλα αλλά από την ισότητα (4) έχει ένα μίσχο με φύλλα.
Πολλαπλασιάζουμε  και τα δυο μέλη της ισότητας (4) με το 2 και έχουμε 0=2 (5)
Ο περιπτεράς έχει δυο χέρια αλλά 2=0 όποτε ο περιπτεράς  δεν έχει χέρια .Ομοίως αποδεικνύουμε ο περιπτεράς δεν έχει  δυο πόδια.
Τώρα ποιο είναι το χρώμα του περιπτερά. Γνωρίζουμε ότι το λευκό φως πέφτει στα αντικείμενα και αυτά απορροφούν κάποια μήκη κύματος και ανακλούν άλλα ,αυτά που ανακλούν δίνουν τον χρωματισμό του αντικείμενου. Έτσι το φως πέφτει πάνω στον περιπτερά και αυτός επανεκπέμπει φωτόνια. Ας πάρουμε οποιοδήποτε από αυτά τα φωτόνια. Πολλαπλασιάζουμε την ισότητα 0=1 με το μήκος κύματος των φωτονίων που εκπέμπει ο περιπτεράς, και προκύπτει:
(Μήκος κύματος φωτονίου περιπτερά)=0  (6) .
Πολλαπλασιάζουμε την ισότητα (6) με το 640 και προκύπτει.
                                                 640=0 (7)
  Από την (7) και την (6) προκύπτει:
(Μήκος κύματος φωτονίου περιπτερά)=640 nm
Από την τελευταία ισότητα αντιλαμβανόμαστε ότι το  κάθε φωτόνιο που εκπέμπει ο περιπτεράς έχει μήκος κύματος 640 nm άρα το χρώμα του είναι πορτοκαλί. Ανακεφαλαιώνουμε:
 Ο περιπτεράς δεν έχει κεφάλι, χέρια,πόδια έχει μίσχο με φύλλα και είναι χρώματος πορτοκαλί άρα πρόκειται για καρότο.
Όλα αυτά γιατί διαιρέσαμε με τον όρο α-β που ισούται με μηδέν.

Αναδημοσίευση από το blog: Μαθημαγικά