Δευτέρα, 28 Μαρτίου 2011

Φυσικά... πειραματικά!: Πώς να διδάξουμε Φυσική;


Από το blog "Φυσικά... πειραματικά" του Θοδωρή Πιερράτου

Το κείμενο που ακολουθεί αποτελεί την εισήγησή μου στην πρόσφατη Ημερίδα για τα Αναλυτικά Προγράμματα Σπουδών για τις Φυσικές Επιστήμες στην Υποχρεωτική Εκπαίδευση,  που πραγματοποιήθηκε στη Θεσσαλονίκη στις 26 Φεβρουαρίου 2011.

1. Εντοπίζοντας το πρόβλημα
Ο Carl Wieman κέρδισε το βραβείο Νομπέλ Φυσικής το 2001, σε ηλικία 50 ετών, για την πραγματοποίηση της πρώτης πραγματικής συμπύκνωσης BoseEinstein. Το 2004 τιμήθηκε με το βραβείο Πανεπιστημιακού Καθηγητή της χρονιάς διδάσκοντας φυσική στο Πανεπιστήμιο του Κολοράντο, ένα πανεπιστήμιο με παράδοση στην έρευνα στη διδακτική της φυσικής.
Σε κάποιο τυπικό μάθημά του, ο κ. Wieman εξήγησε τη φυσική του ήχου, και μάλιστα έφερε ένα βιολί μέσα στην τάξη. Εξήγησε πώς, σύμφωνα με τις αρχές της φυσικής που μόλις είχε παρουσιάσει, οι χορδές δεν μετακινούν αρκετό αέρα ώστε να δημιουργήσουν τον ήχο που ακούμε από το βιολί.
Ουσιαστικά, είπε στους μαθητές του, οι χορδές προκαλούν την κίνηση του πίσω μέρους του βιολιού μέσω του αντηχείου, οπότε είναι το πίσω μέρος του βιολιού που πραγματικά παράγει τον ήχο που ακούμε. 15 λεπτά αργότερα έθεσε στο ακροατήριο των φοιτητών του την εξής ερώτηση:


Ο ήχος που ακούς από το βιολί παράγεται κυρίως από:
α. τις χορδές,
β. από το ξύλο στο πίσω μέρος του βιολιού,
γ. εξίσου και από τα δύο,
δ. από κανένα από τα δύο. 


Τι ποσοστό των φοιτητών πιστεύετε ότι απάντησε σωστά στην ερώτηση;
Όπως βλέπετε στη διαφάνεια, 15 λεπτά μετά την παρουσίαση της θεωρίας, το ποσοστό των φοιτητών που απαντάει σωστά είναι 10%!!! 


Ακόμα πιο εντυπωσιακά, ο κ. Wieman ισχυρίζεται ότι το ποσοστό παραμένει το ίδιο ακόμη κι όταν το ακροατήριό του αποτελείται από μέλη ΔΕΠ της σχολής ή μεταπτυχιακούς φοιτητές…
(Περιοδικό Physics Today, November 2005.)

Είμαι βέβαιος ότι όλοι μπορούμε να φέρουμε παρόμοια παραδείγματα χαμηλής απόδοσης των μαθητών μας, παρότι «τους τα είχαμε πει!»

Γιατί συμβαίνει αυτό; Φταίει ο δάσκαλος; Φταίει ο μαθητής; Φταίει το αναλυτικό πρόγραμμα;
Όλοι φέρουν το δικό τους μερίδιο ευθύνης… Ευθύνη, κυρίως, γιατί δε λαμβάνουν υπόψη στο σχεδιασμό και την πραγματοποίηση της διδασκαλίας, τον κύριο …ένοχο: τον εγκέφαλό μας!

Ο εγκέφαλός μας, προσπαθώντας να επιβιώσει σε έναν περίπλοκο, επικίνδυνο κόσμο, δέχεται έναν απίστευτο καταιγισμό αισθητηριακών δεδομένων, τα μεταφράζει, τα επεξεργάζεται, τα αποθηκεύει, ανακαλεί και ανασυνθέτει μνήμες. Πολύ απλά, ΜΑΘΑΙΝΕΙ. Πώς, όμως μαθαίνει;

Ας δώσω ένα παράδειγμα, το οποίο αν και φωτίζει μερικές μόνο από τις πολλές πτυχές του θέματος, είναι αρκετά γλαφυρό…

Ένα ψάρι ζει «όλη του τη ζωή» κολυμπώντας ανέμελα σε μια λίμνη. Μέχρι και σήμερα έχει καταφέρει να ανταπεξέλθει σε όλους τους κινδύνους που ελλοχεύουν στη λίμνη απειλώντας τη ζωή του… 

 
Μία μέρα ένας βάτραχος έρχεται στη λίμνη και, κοσμογυρισμένος όπως είναι, αρχίζει να περιγράφει στο ψάρι μας όσα παράξενα έχει δει. 



«Ο κόσμος εκεί έξω είναι πολύ περίεργος… Υπάρχουν κάποια όντα με δύο πόδια και φτερά που πετάνε! Τα πουλιά. Επίσης υπάρχουν κάτι χοντρά ζώα με βούλες στην πλάτη τους τα οποία κάνουν γάλα. Οι αγελάδες. Τα πιο παράξενα όντα όμως είναι οι άνθρωποι: φοράνε ρούχα και περπατάνε όρθιοι στα δυο τους πόδια…». Όσο ο βάτραχος περιγράφει τον παράξενο νέο κόσμο, το ψάρι προσπαθεί να φτιάξει μια εικόνα στο μυαλό του, αυτού του κόσμου.
Όμως, ζώντας και συναναστρεφόμενο κυρίως ψάρια, δημιουργεί τις δικές του εικόνες για τα πουλιά…

 
Για τις αγελάδες…



Για τους ανθρώπους…


Ο συμπαθής βάτραχος της ιστορίας μοιάζει απελπιστικά με το φιλότιμο εκπαιδευτικό που προσπαθεί να μεταφέρει τον κόσμο του στους μαθητές: έναν παράξενο κόσμο γεμάτο από έννοιες, ιδέες, θεωρίες που ακούν σε περίεργα ονόματα (κουάρκ, στροφορμή, διατήρηση της ορμής, ηλεκτρομαγνητισμός) ή σε ονόματα που το ψάρι, οι μαθητές μας, γνωρίζουν αλλά με εντελώς διαφορετικό εννοιακό περιεχόμενο: δύναμη, ενέργεια, κύμα.

Όσο «καλά» και να τα λέει ο βάτραχος η δυσκολία μετάφρασης και ένταξης των νέων εννοιών στο εννοιολογικό πλαίσιο που ερμηνεύει τον κόσμο του «ψαριού», καθιστούν καταρχήν δύσκολη την απόπειρα. Οι ιδέες των μαθητών που βρίσκονται εγγεγραμμένες στο μυαλό τους, προϊόντα της καθημερινής τους εμπειρίας, αλληλεπιδρούν με τη διδασκαλία παράγοντας ένα προϊόν που πολύ απέχει από του επιδιωκόμενους διδακτικούς στόχους. Και ο βάτραχος βέβαια, δεν έλαβε υπόψη του στο σχεδιασμό της διδασκαλίας του αυτές τις ιδέες…

Και, δυστυχώς, δεν έμεινε μόνο εκεί. Κατά την πραγματοποίηση της διδασκαλίας του, ανέλαβε τον πρωταγωνιστικό ρόλο, δημιούργησε δηλαδή ένα δασκαλοκεντρικό περιβάλλον μάθησης, και άφησε για το μαθητή του τον παθητικό ρόλο του υπάκουου ωτακουστή. Πώς, όμως, μπορεί το ψάρι να κατανοήσει έναν κόσμο στον οποίο δεν έχει παρά ακουστική  και μόνο πρόσβαση;
Πώς μπορούν οι μαθητές μας να μάθουν φυσική, χημεία, βιολογία με το να τους μεταφέρουμε ΤΙ γνωρίζουν οι επιστήμονες, χωρίς να τους εμπλέκουμε στη διαδικασία του ΠΩΣ το ξέρουν; Πώς μπορεί να γίνει αποτελεσματική η διδασκαλία και ταυτόχρονα αγαπητή από τους μαθητές;
Πώς πρέπει να διδάσκουμε τη φυσική στα σχολεία μας;

2. Τα πορίσματα της διδακτικής της Φυσικής: τι μπορεί να γίνει
Το κλειδί στην προσπάθεια να απαντήσουμε σε αυτά τα ερωτήματα φαίνεται να είναι η κατανόηση του πώς οι μαθητές μαθαίνουν. Του πώς οι άνθρωποι μαθαίνουν.

Α. Ανάπτυξη αναλυτικών προγραμμάτων που στηρίζονται σε έννοιες και λαμβάνουν υπόψη τις ιδέες των μαθητών
Μέρος της έρευνας έχει προσπαθήσει να δώσει απαντήσεις εστιάζοντας στο πώς σκέφτονται και ενεργούν οι «ειδικοί» σε κάποιο γνωστικό πεδίο όταν αντιμετωπίζουν κάποιο πρόβλημα. Φαίνεται, λοιπόν, ότι οι ειδικοί οργανώνουν τις γνώσεις τους σε μια δομή που στηρίζεται σε βασικές έννοιες, αρχές και νόμους. Ο φυσικός όταν βλέπει ένα πρόβλημα δε βλέπει απλά τροχαλίες, σκοινιά, σώματα που κρέμονται. Βλέπει την αρχή διατήρησης της ενέργειας, το 2ο νόμο του Νεύτωνα, το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης.

Πώς ενεργούν αντίστοιχα οι μαθητές μας όταν τίθενται αντιμέτωποι με μια προβληματική κατάσταση;

Τα δεδομένα μιας έρευνας που πραγματοποίησε ο Eric Mazur, καθηγητής στο πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ υποδεικνύουν το πώς. Ενδεικτικά, ο Mazur έθεσε στους φοιτητές του, μεταξύ άλλων, την εξής ερώτηση:
«Στο παρακάτω κύκλωμα υπολογίστε την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος στον αντιστάτη των 2Ω και τη διαφορά δυναμικού μεταξύ των σημείων P, Q.» 


Οι βαθμολογίες των φοιτητών κατανεμήθηκαν όπως φαίνονται στο διάγραμμα. Μέσος όρος 6,9.

 
Όχι άσχημα αν ληφθεί υπόψη η περιπλοκότητα του κυκλώματος… Θα συμπέρανε κανείς ότι οι φοιτητές έχουν κατακτήσει σε ικανοποιητικό βαθμό το αντίστοιχο σώμα γνώσεων.

Λίγο αργότερα όμως, στους ίδιους φοιτητές δόθηκε το εξής κύκλωμα 

 
και τους ζητήθηκε να περιγράψουν τι θα συμβεί στη φωτεινότητα των λαμπτήρων όταν κλείσει ο διακόπτης S. Το κύκλωμα είναι απλούστερο από το προηγούμενο. Όμως, αυτή τη φορά οι φοιτητές δεν έπρεπε να «κάνουν πράξεις» αλλά να χρησιμοποιήσουν το οπλοστάσιο των εννοιών και βασικών φυσικών αρχών που είχαν διδαχθεί για να απαντήσουν. Οι βαθμολογίες των φοιτητών κατανεμήθηκαν όπως φαίνονται στο διάγραμμα… 

 
Μέσος όρος 4,9. Αρκετά χειρότερα από ό,τι στη «δύσκολη» ερώτηση!
Γιατί οι φοιτητές, αλλά και οι μαθητές μας, απαντούν ορθότερα σε ερωτήσεις που καλούνται να χρησιμοποιήσουν τύπους και εξισώσεις, αλλά αποτυγχάνουν όταν θέτουμε ερωτήσεις εννοιολογικού περιεχομένου, ερωτήσεις κατανόησης;
Ένας βασικός λόγος είναι ότι, σε αντίθεση με τους ειδικούς, οι μαθητές ΔΕΝ οργανώνουν τις σκέψεις γύρω από κάποιες βασικές έννοιες και αρχές. Οι μαθητές βλέπουν τροχαλίες και σκοινιά και όχι την αρχή διατήρησης της ενέργειας. Και δεν το κάνουν, για διάφορους λόγους. Ένας από αυτούς είναι ότι τα ίδια τα αναλυτικά προγράμματα δεν είναι οργανωμένα γύρω από κάποιες βασικές έννοιες και αρχές. Τουλάχιστον όχι με σαφή τρόπο.


Επιπλέον, όπως ήδη έχουμε πει, οι υπάρχουσες γνωστικές δομές των μαθητών βρίθουν από προϋπάρχουσες, λανθασμένες επιστημονικά, ιδέες. Πολλές φορές οι εναλλακτικές αυτές ιδέες των μαθητών κρύβονται κάτω από την «ικανότητά» τους να απαντούν σε ερωτήσεις που σχετίζονται με τύπους και ποσοτικές ερωτήσεις. Όταν όμως η συζήτηση περνάει σε ποιοτική διαπραγμάτευση των εννοιών, έρχονται στο προσκήνιο αναδεικνύοντας το γεγονός ότι οι μαθητές μάλλον απομνημονεύουν παρά καταλαβαίνουν… Και η διδασκαλία μας, ο τρόπος διδασκαλίας μας, δεν βοηθά στην άρση της κατάστασης αυτής…
Είναι πλέον ευρέως διαδεδομένη η άποψη ότι η ανάδειξη των ιδεών των μαθητών και η αναδόμησή τους, οφείλει να αποτελέσει σημαντικό στόχο της διδασκαλίας μας και επομένως των αναλυτικών προγραμμάτων σπουδών.


Β. Ενίσχυση μεταγνωστικών μεθοδολογιών που θα βάλουν στο τιμόνι της μαθησιακής διαδικασίας τον ίδιο τον μαθητή
Ας επανέλθουμε, όμως, στο ψάρι της παραπάνω ιστορίας για να αναζητήσουμε τις δικές του ευθύνες. Το ψάρι λοιπόν, αποδέχθηκε τις πληροφορίες για τη ζωή στη στεριά μάλλον παθητικά. Εάν είχε προσπαθήσει να αποτυπώσει ό,τι νόμιζε ότι καταλαβαίνει και είχε προσπαθήσει να το συγκρίνει με ό,τι ήδη ήξερε, θα έπρεπε να εντοπίσει ότι κάτι δεν πάει καλά: το να φορέσει ένα ψάρι καπέλο και σακάκι, πέρα από άβολο, μειώνει και την ικανότητά του να κολυμπάει… Γιατί να το κάνει κάτι τέτοιο ένα ψάρι; Θα μπορούσε λοιπόν να ρωτήσει το βάτραχο, γιατί οι άνθρωποι ταλαιπωρούνται φορώντας ρούχα. Ίσως έτσι έδινε τη δυνατότητα να ξεκινήσει μία συζήτηση η οποία θα διαφώτιζε τις διαφορές μεταξύ ανθρώπων και ψαριών.
Το ψάρι δηλαδή, θα έπρεπε να διαθέτει εκείνους τους μεταγνωστικούς μηχανισμούς μάθησης που θα του επέτρεπαν να μπορεί να γνωρίζει κάθε στιγμή τι καταλαβαίνει και τι όχι. Σε τι πρέπει να επιμείνει και σε τι πρέπει να επιχειρήσει εμβάθυνση.

Για μισό λεπτό όμως! Είναι ευθύνη του ψαριού ότι δεν έχει αναπτύξει τέτοιους μηχανισμούς;
Πόσο συχνά οι μαθητές ενθαρρύνονται να διατυπώνουν τις σκέψεις τους, να συμμετέχουν σε συζητήσεις, χωρίς το φόβο να χρεωθούν κακούς βαθμούς ή ακόμη και να κακοχαρακτηριστούν ("τι βλακείες είναι αυτά που λες;"). Πόσοι από εμάς είμαστε έτοιμοι να ΑΓΚΑΛΙΑΣΟΥΜΕ ΤΟ ΛΑΘΟΣ, όπως χαρακτηριστικά λέει ο Ανδρέας Κασέτας; Πόσοι βλέπουμε σε αυτές τις συζητήσεις, σε αυτά τα λάθη, την ευκαιρία να αποτυπώσουμε τις ιδέες των μαθητών για το υπό διδασκαλία αντικείμενο, ώστε να τις αξιοποιήσουμε στο σχεδιασμό της διδασκαλίας μας;
Και τελευταίο αλλά όχι έσχατο: Πόσο είναι δυνατόν να γίνει κάτι τόσο χρονοβόρο όταν το αναλυτικό πρόγραμμα επιτάσσει την ολοκλήρωση μιας πελώριας διδακτέας ύλης;

Γ. Μείωση της διδακτέας ύλης
Γυρνώντας πίσω στο παράδειγμα που περιγράφει ο Weiman, προκαλεί μεγάλη εντύπωση σε όλους, φαντάζομαι, πόσο λίγοι φοιτητές απαντούν σωστά. Παραγνωρίζουμε όμως κάτι που βιώνουμε όλοι καθημερινά: την πεπερασμένη χωρητικότητα της βραχυπρόθεσμης μνήμης μας. Η έρευνα, αλλά και η εμπειρίες όλων μας, δείχνουν ότι η ποσότητα της ύλης που παρουσιάζεται σε μια συνηθισμένη τάξη είναι μακράν πέρα από το γνωστικό φορτίο που μπορεί να επεξεργαστεί ή να μάθει οποιοσδήποτε άνθρωπος. Πρόκειται για μια από τις πιο καλά τεκμηριωμένες ερευνητικά αρχές της εκπαίδευσης. Ταυτόχρονα, πρόκειται για μία από τις πιο κατάφορα παραβιασμένες αρχές της εκπαίδευσης! 



Για να μεγιστοποιηθεί η μάθηση, είναι ευρέως διαδεδομένη πλέον η άποψη ότι πρέπει να μειωθεί το γνωστικό φορτίο, να περιοριστεί η έκταση της διδακτέας ύλης και να επιδιωχθεί η εμβάθυνση, ενώ ταυτόχρονα πρέπει να επιχειρηθεί η σύνδεση της νέας γνώσης με ό,τι ήδη οι μαθητές ξέρουν.

3. Ο ρόλος των νέων τεχνολογιών: πώς μπορεί να γίνει
Φαντάσου ότι μπαίνεις στην τάξη σου, λίγο μετά το χτύπημα του κουδουνιού. Οι μαθητές σου είναι ήδη εκεί και σε περιμένουν. Είναι χωρισμένοι σε ομάδες των 3-4 ατόμων. Τους καλημερίζεις, σου λένε κάτι αστείο, γελάς και είσαι πλέον έτοιμος να ξεκινήσεις το μάθημα.
Θέτεις μία ερώτηση πολλαπλής επιλογής για να ανιχνεύσεις τη γνωστική τους αφετηρία. 




 Οι μαθητές σκέφτονται και απαντούν ο καθένας μόνος του, ανώνυμα, χρησιμοποιώντας το κινητό τους τηλέφωνο ή το κλίκερ τους. Δείχνεις άμεσα με τον βιντεοπροβολέα την κατανομή των απαντήσεών τους. 


 
Και τότε το μάθημα παίρνει φωτιά. 6 μαθητές απάντησαν το Α. Οι 4 σηκώνουν χέρι: θέλουν να παρουσιάσουν τον τρόπο που σκέφτηκαν. Οι 2 ντρέπονται. Φοβούνται μήπως κάνουν λάθος. Τους ενθαρρύνεις. Δειλά διατυπώνουν την άποψή τους. Όχι ξεκάθαρα, αλλά τουλάχιστον προσπαθούν. Εντυπωσιακό: αν και απαντούν και οι 6 το Α, έχουν εντελώς διαφορετικούς λόγους! Τότε μπαίνουν στο παιχνίδι εκείνοι που απάντησαν το Β ή το Γ ή το Δ. Εκθέτουν τους δικούς τους λόγους και προσπαθούν να καταρρίψουν τα επιχειρήματα όσων έδωσαν διαφορετικές απαντήσεις. Κάποιοι αλλάζουν άποψη παρουσιάζοντας τους λόγους τους. Άλλοι επιμένουν στην αρχική τους άποψη. Τους ρωτάς να προτείνουν πώς μπορεί να δοθεί τελεσίδικη απάντηση.
Προτείνουν προσφυγή στο πείραμα.
Τι πείραμα πρέπει να γίνει; Τι θα μετρήσουμε; Πώς θα εξασφαλίσουμε ότι η υπόθεσή μας δεν επηρεάζεται από άγνωστες παραμέτρους;
Κάθε ομάδα ενθαρρύνεται να στήσει το δικό της πείραμα. Όλες οι ομάδες έχουν πρόσβαση σε μια «κουζίνα» με υλικά και αναλώσιμα. Κυρίως υλικά καθημερινής χρήσης, αλλά και όχι μόνο.
Οι ομάδες στήνουν τα πειράματά τους. Παρατηρούν. Καθώς τριγυρνάς ανάμεσα στις ομάδες ακούς τις προβλέψεις τους, τον τρόπο σκέψης τους. Τον ενθουσιασμό τους. Βεβαίως ακούς και κάποιους να συζητάν για άλλα πράγματα. Τους επαναφέρεις ζητώντας τους να προτείνουν κάτι ώστε να συμβεί εκείνο ή το άλλο. Τους προκαλείς: μπορούν να το κάνουν; Μερικές φορές «ψαρώνουν»!. Άλλες δυστυχώς όχι.
Οι ομάδες ολοκληρώνουν. Ένας μαθητής από κάθε ομάδα ανακοινώνει τις παρατηρήσεις της ομάδας. Ζητάς από τους υπόλοιπους μαθητές να κρίνουν την ακρίβεια όσων κατατέθηκαν.
Ξαναθέτεις την αρχική ερώτηση. Οι μαθητές απαντούν και πάλι. Η κατανομή έχει αλλάξει. 




 Δεν απαντούν όλοι το ίδιο αλλά σαφώς υπάρχει μια απάντηση που κυριαρχεί. Συνήθως είναι η σωστή.
Διατυπώνεις μία νέα ερώτηση. Στηρίζεται στην ίδια φυσική αρχή. Θέλεις να δεις αν οι μαθητές μπορούν να εφαρμόσουν τη νέα γνώση όταν τίθεται με διαφορετικό περιτύλιγμα.


Παρουσιάζεις την κατανομή των απαντήσεων και το ταξίδι αρχίζει από την αρχή…


Σε λίγο θα χτυπήσει το κουδούνι. Παλιά βιάζονταν όλοι να φύγουν έξω αμέσως. Τώρα θέλουν να δουν πρώτα ποια είναι η σωστή η απάντηση. Και ΓΙΑΤΙ.

Η συζήτηση τράβηξε λίγο παραπάνω σήμερα. Όλοι ήθελαν να μιλήσουν. Μάλλον, δε θα προλάβουμε να δούμε ολόκληρη την Ευρώπη στις 7 ημέρες που έχουμε στη διάθεσή μας, σκέφτεσαι.  


Μήπως θα πρέπει να περάσουμε τις μέρες αυτές σε λίγες, πιο προσεκτικά επιλεγμένες, χώρες;

Κυριακή, 27 Μαρτίου 2011

Teaching In the 21st Century

 Από το blog: elenaell

 
 
Πηγή

Μαθη...μαγικα: Το παράδοξο των φακέλων!!!!!!!

Το παράδοξο των φακέλων!!!!!!!


«Φάκελος : Το φέρετρο ενός έγγραφου, η φαρέτρα ενός λογαριασμού, το καβούκι ενός εμβάσματος , το νυχτικό μιας ερωτικής επιστολής .»
                                      Αμβρόσιος Πηρς

Φανταστείτε ότι βρίσκεστε σε ένα τηλεπαιχνίδι. Μπροστά σας είναι τοποθετημένοι δυο  κλειστοί φάκελοι με χρήματα .Ο παρουσιαστής σας ενημερώνει  ο ένας φάκελος περιέχει διπλάσιο ποσό χρημάτων από τον άλλο αλλά δεν  γνωρίζετε  ποιος. Επιλέγετε έναν φάκελο στην τύχη τον ανοίγετε και διαπιστώνετε ότι περιέχει το ποσό των  100 ευρώ. Ο παρουσιαστής σας  δίνει την δυνατότητα η να κρατήσετε τον ανοικτό φάκελο και το ποσό των 100 ευρώ η να τον ανταλλάξετε με τον άλλο φάκελο .Ο Άλλος φάκελος περιέχει με ισες πιθανότητες η το διπλάσιο ποσό  200 ευρώ η το μισό των χρημάτων που βρήκατε 50 ευρώ. Οι πιθανότητες να κερδίσετε η να χάσετε είναι ισες . Αλλά φυσικά το αναμενόμενο κέρδος είναι διαφορετικό στην πρώτη περίπτωση κερδίζετε 100 ευρώ επιπλέον στην δεύτερη χάνετε μόνο 50. Άρα σας συμφέρει να τον ανταλλάξετε.
   Σε αυτό σημείο όμως  έχουμε θέμα. Προτού ανοίξετε τον φάκελο γνωρίζετε ότι οποιοδήποτε ποσό και αν βρείτε, το σκεπτικό θα παραμείνει το ίδιο, έτσι το πιο λογικό πράγμα που έχετε να κάνετε είναι να ανταλλάξετε  αμέσως το φάκελο με τον άλλο , δίχως να σας απασχολεί το άνοιγμα  του: Διότι, αν ο φάκελος που κρατάτε περιέχει χ ευρώ, τότε ο άλλος φάκελος θα περιέχει η χ/2 ή 2χ ευρώ , με ισες πιθανότητες .Όποτε θα έχετε ισες πιθανότητες να κερδίσετε χ ευρώ ή  να χάσετε χ/2  ευρώ. Άρα σας συμφέρει να κάνετε την ανταλλαγή. Αλλά αν αρχικά είχατε επιλέξει το δεύτερο φάκελο, τότε με το ίδιο σκεπτικό , θα σας συνέφερε να τον  ανταλλάξετε αυτόματα με τον πρώτο.  Αδιέξοδο ,φτάνουμε σε παράδοξο!!   Είναι σαφές ότι υπάρχει αντίφαση αλλά ποιο είναι το σφάλμα του παραπάνω συλλογισμού;
Ικανοποιητική ερμηνεία δεν έχει δοθεί μέχρι σήμερα.
  Το παράδοξο είναι γνωστό από την δεκαετία του 1930 αλλά με την μορφή των φακέλων παρουσιάστηκε για πρώτη φορά από των καθηγητή μαθηματικών του Χάρβαρντ Sandy zabell.
Απαλλαγμένη από πιθανότητες μια άλλη εκδοχή του παράδοξου δίνει ο Ραιημοντ  Σμουλλυαν , Μαθηματικός  με ειδίκευση στην Λογική και συγγραφέας βιβλίων με γρίφους.
Το θέτει ως εξής:
  Επιλέγουμε στην αρχή τον ένα από τους δυο φάκελους και αποφασίζουμε να τον ανταλλάξουμε με τον άλλο. Από την ανταλλαγή αυτή είναι σαφές ότι ή  θα κερδίσουμε ή  θα χάσουμε. Θα αποδείξουμε τώρα δυο αντιφατικές προτάσεις:
● Πρόταση 1: Το ποσό που θα κερδίσουμε, αν κερδίσουμε, είναι μεγαλύτερο από το ποσό που θα χάσουμε, αν χάσουμε.
● Πρόταση 2: Τα ποσά είναι ίσα.
Ευθύς έξαρχης είναι σαφές ότι δεν μπορούν να αληθεύουν και οι δυο προτάσεις .Θα αποδείξουμε και τις δυο.
Η πρόταση 1 αναδιατυπώνει όσα  αναφέραμε στην αρχή.
Αν χ ευρώ  περιέχει ο φάκελος που κρατάμε ο άλλος περιέχει  η χ/2 ή  2χ ευρώ. Α κερδίσουμε από την ανταλλαγή θα κερδίσουμε χ ευρώ ενώ αν χάσουμε θα χάσουμε χ/2 ευρώ. Αφού το χ είναι μεγαλύτερο από χ/2  , το ποσό που θα κερδίσουμε θα είναι μεγαλύτερο από αυτό που θα χάσουμε άρα ισχύει η πρόταση 1.
Όσο αφορά την πρόταση 2.  Αν   Δ είναι η διαφορά των ποσών στους 2 φάκελους, ή  , με άλλα λόγια, έστω Δ το μικρότερο από τα δυο ποσά. Αν κερδίσουμε από την ανταλλαγή θα κερδίσουμε  Δ ευρώ αν χάσουμε θα χάσουμε Δ ευρώ. Άρα τα δυο ποσά είναι ίσα. Για παράδειγμα αν υποθέσουμε ότι ο φάκελος με το μικρότερο ποσό  περιέχει 20 ευρώ. Οπότε αυτός με το μεγαλύτερο ποσό περιέχει  40 ευρώ. Αν κερδίσεις από την ανταλλαγή, σημαίνει ότι είχαμε στα χέρια μας το φάκελο με τα λιγότερα χρήματα, οπότε το κέρδος είναι 20 ευρώ. Αν όμως χάσουμε από την ανταλλαγή , αυτό σημαίνει ότι κρατούσαμε το φάκελο με τα  με τα 40 ευρώ και έτσι θα χάσουμε 20 ευρώ. Άρα 20 ευρώ είναι το ποσό που θα κερδίσουμε ,αλλά και  το ποσό που θα χάσουμε. Το ίδιο ισχύει και για κάθε Δ που είναι μικρότερο από τα δυο ποσά. Ο Αριθμός Δ είναι το ποσό που  κερδίσουμε η θα χάσουμε. Οπότε αποδεικνύεται και η πρόταση 2, και τα ποσά είναι τελικά ισα. Ισχύει τόσο η πρόταση 1 όσο και οι πρόταση 2!!!.Μπερδευτηκατε;
Δεν μπορούν να αληθεύουν και οι δυο προτάσεις. 
 

Σάββατο, 26 Μαρτίου 2011

Στον Αμερικανό μαθηματικό Τζον Μίλνορ το Βραβείο Άμπελ

Στον Αμερικανό μαθηματικό Τζον Μίλνορ απονέμεται το Βραβείο Άμπελ για το 2011, το αποκαλούμενο και «Νόμπελ Μαθηματικών», όπως ανακοίνωσε η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών.
Σύμφωνα με την ανακοίνωση της Ακαδημίας ο 80χρονος σήμερα επιστήμονας βραβεύεται για τις πρωτοποριακές του ανακαλύψεις στην τοπολογία, τη γεωμετρία και την άλγεβρα, δηλαδή σε όλο το φάσμα των μαθηματικών, ένα ασυνήθιστο επίτευγμα. Ο Μίλνορ έγινε διάσημος όταν ανακάλυψε ότι υπάρχουν σφαίρες σε επτά διαστάσεις, πολύ διαφορετικές απ' αυτές με τις οποίες παίζουμε ποδόσφαιρο ή μπάσκετ.

Το βραβείο Άμπελ απονεμήθηκε για πρώτη φορά το 2003, αποκτώντας γρήγορα «στάτους» ισοδύναμο με Νόμπελ μεταξύ των μαθηματικών, και συνοδεύεται από το ποσό περίπου του 1 εκατ. δολαρίων. Πήρε την ονομασία του Νορβηγού μαθηματικού του 19ου αιώνα Νιλς Χένρικ Άμπελ, ο οποίος ανακάλυψε τη θεωρία ομάδων μαζί με τον Τσέχο μαθηματικό Φράντιζεκ Βολφ.

Το βραβείο θα απονείμει στον Μίλνορ ο Νορβηγός βασιλιάς Χάραλντ κατά τη διάρκεια ειδικής τελετής που θα πραγματοποιηθεί στο Όσλο στις 24 Μαΐου, όπως αναφέρουν οι επιστημονικές εκδόσεις “Science”, “Nature” και “New Scientist”.

Ποιος είναι

Ο Τζον Μίλνορ είναι ειδικός στην τοπολογία, καθώς και στις θεωρίες των δυναμικών συστημάτων, των παιγνίων, των ομάδων και των αριθμών και διδάσκει στο Ινστιτούτο Μαθηματικών Επιστημών του πανεπιστημίου Stony Brook της Νέας Υόρκης. Η καριέρα του ξεκίνησε το 1950, όταν όντας ακόμα φοιτητής στο πανεπιστήμιο Πρίνστον, κατάφερε να λύσει ένα άλυτο μέχρι τότε πρόβλημα σχετικά με την καμπυλότητα των κόμβων, συγκεντρώνοντας πάνω του το ενδιαφέρον των μαθηματικών. Μόλις έξι χρόνια αργότερα αναγνωρίστηκε διεθνώς, όταν απέδειξε την ύπαρξη «εξωτικών» σφαιρών με επτά διαστάσεις και παράξενες τοπολογικές ιδιότητες.

Διασημότητα του έχουν χαρίσει επίσης τα “μυθικά” βιβλία του, στα οποία εξηγούνται με (σχετικά) απλό και καθαρό τρόπο τα μαθηματικά, κάθε νέο του πόνημα γίνεται σύντομα “κλασικό” μεταξύ των συναδέλφων του. Σύμφωνα με τη Νορβηγική Ακαδημία όλα τα έργα του διακρίνονται “ για τη σπουδαία έρευνά τους, τις θεμελιώδεις ενοράσεις, τη ζωηρή φαντασία, τα στοιχεία έκπληξης και την υπέρτατη ομορφιά τους”.

Του έχουν ήδη απονεμηθεί όλα τα άλλα σημαντικά βραβεία μαθηματικών (Φιλντς 1962, Βολφ 1989 κ.α.), ωστόσο δήλωσε ότι ξαφνιάστηκε όταν τον ειδοποίησαν ότι πήρε και το Άμπελ, καθώς όπως είπε “πάντα αιφνιδιάζεται κάποιος, όταν τον παίρνουν τηλέφωνο στις έξι ώρα το πρωί”.

Πηγή

Η πρώτη «ντροπαλή» εμφάνιση του χάους

Το πρόβλημα των «τριών σωμάτων» αποτελεί την πιο απλή εκδοχή του προβλήματος της αμοιβαίας αλληλεπίδρασης των «πολλαπλών σωμάτων», που επί έναν αιώνα αποτελούσε τον εφιάλτη της νευτώνειας δυναμικής.
Ο  
Ζιλ - Ανρί Πουανκαρέ Ο Ζιλ - Ανρί Πουανκαρέ Για να μελετήσει αυτή την ασύλληπτης δυσκολίας σπαζοκεφαλιά, ο Πουανκαρέ αποφάσισε να υιοθετήσει μια γεωμετρική ή ακριβέστερα μια τοπολογική προσέγγιση του προβλήματος, δηλαδή να αναλύσει τις τροχιές των τριών αλληλεπιδρώντων σωμάτων στο χώρο των φάσεων. Πρόκειται για έναν αφηρημένο μαθηματικό χώρο που αποδεικνύεται εξαιρετικά χρήσιμος και βολικός για την αναπαράσταση περίπλοκων δυναμικών αλληλεπιδράσεων.
Αναλύοντας υπομονετικά τα γραφήματα που προέκυπταν από την είσοδο ενός τρίτου σώματος, κατέληξε στο εξωφρενικό συμπέρασμα ότι μακροχρόνιες προβλέψεις είναι αδύνατες διότι οι μαθηματικές εξισώσεις, δηλαδή οι σειρές που περιγράφουν τις τροχιές των τριών αλληλεπιδρώντων ουράνιων σωμάτων, όχι μόνο δεν συγκλίνουν σε κάποιες προκαθορισμένες θέσεις, αλλά αντίθετα αποκλίνουν!
Πρώτος λοιπόν ο Πουανκαρέ έδειξε πόσο ουτοπικό και πρακτικά ανεφάρμοστο ήταν το φιλόδοξο πρόγραμμα της «κλασικής» φυσικής για την ασφαλή πρόβλεψη και την πλήρη ντετερμινιστική περιγραφή όλων των φυσικών φαινομένων. Ανοίγοντας έτσι το δρόμο -χωρίς ίσως να το συνειδητοποιεί και ο ίδιος- για την επέλαση του χάους στη σύγχρονη επιστημονική σκέψη.

Πηγή

Κυριακή, 20 Μαρτίου 2011

scale of universe

Κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο:

Μετακινήστε το γαλάζιο τετράγωνο και αφεθείτε σε ένα ταξίδι απο το ελάχιστο ως το άπειρο ...

αστροπαρατηρήσεις

Η εκδήλωση θα διεξαχθεί στο διάστημα από 29 έως 31 Ιουλίου 2011 και την οργάνωσή της έχει αναλάβει ο Όμιλος Φίλων Αστρονομίας Θεσσαλονίκης μετά την απόφαση που λήφθηκε στη συνάντηση των εκπροσώπων των συλλόγων ερασιτεχνών που πραγματοποιήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2010 στην Αθήνα.
Ο τόπος που θα πραγματοποιηθεί η εξόρμηση είναι οι κατασκηνώσεις στην τοποθεσία Κουρούνα, λίγο έξω από τους Φιλιππαίους Γρεβενών σε υψόμετρο 1400 μέτρα.
Στις σελίδες αυτές θα αναρτηθούν όλες οι πληροφορίες σχετικά με την συνάντηση, το πρόγραμμα, την διαμονή, τις εκδηλώσεις κλπ.